【江蘇成考】專升本數學1--一元函數積分學知識點睛(定積分)
一元函數積分學知識點睛(定積分)
知識結構:
必備基礎知識
(1)大化?。ò汛笄吿菪畏譃閚個小曲邊梯形):,在中任意插入若干個分點:
,
(2)常代變(用小矩形近似的代替每一個小曲邊梯形):在每個小區間上任取一點
作函數值
與小區間長度
的乘積
,
(3)近似和(n個小矩形的面積之和近似的等于大曲邊梯形的面積):作和式
(4)取極限(無限細分,得到大曲邊梯形的面積):記如果不論對
怎樣的分法,也不論在小區間
上點
怎樣取法,只要當
時,和
總趨于確定的極限I,我們就稱這個極限I為函數
在區間
上的定積分,記為
其中叫做被積函數,
叫做被積表達式,x叫做積分變量,
叫做積分區間.
★定積分的幾何意義:——理解即可
在區間[a,b]上,當f(x)30時,積分在幾何上表示由曲線y=f(x)、兩條直線x=a、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積;當f(x)£0時,由曲線y=f(x)、兩條直線x=a、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方,定義分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負值;
★定積分的性質——紅色部分要掌握
兩點規定:
性質1函數的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差)即
性質 3 如果將積分區間分成兩部分 則在整個區間上的定積分等于這兩部分區間上定積分之和 即:.
性質5如果在區間[a, b]上f(x)30,則:(a<b).
推論1如果在區間[a, b]上f(x)£g(x)則:(a<b).
性質6設M及m分別是函數f(x)在區間[a, b]上的最大值及最小值,則
性質7(定積分中值定理)如果函數f(x)在閉區間[a, b]上連續,則在積分區間[a, b]上至少存在一個點,使下式成立:.
★積分上限函數
設函數f(x)在區間[a,b]上連續,并且設x為[a,b]上的一點. 我們把函數f(x)在部分區間[a,x]上的定積分稱為積分上限的函數.它是區間[a,b]上的函數,記為:F(x)
,或F(x)=
.
積分上限函數的導數
定理如果函數f(x)在區間[a,b]上連續,則函數F(x)在[a,b]上具有導數,并且它的導數為:
★牛頓--萊布尼茨公式
定理如果函數F(x)是連續函數f(x)在區間[a,b]上的一個原函數,則
此公式稱為牛頓--萊布尼茨公式,也稱為微積分基本公式.
★無窮區間上的廣義積分的概念
在廣義積分的定義式中,如果極限存在,則稱此廣義積分收斂; 否則稱此廣義積分發散.
主要考察知識點和典型例題:
考點一:變上限積分求導
變上限積分主要考查它的求導性質,考試時遇到變上限積分的問題都要進行求導,主要的考查題型是:直接給一個變限積分,進行求導;定積分求導;含有變限積分的極限問題。
解根據變上限積分的求導公式,變上限積分求導就等于被積函數:
考點二:利用萊布尼茲公式直接計算
根據牛—萊公式,計算定積分就是計算不定積分,區別在于不定積分加常數C,定積分加積分區間
,定積分的計算方法和不定積分的計算方法沒有什么區別,只需要注意積分限的變化。